Desigualdades Compuestas

Una desigualdad compuesta es la combinación de dos desigualdades unidas por el conector Y o por el conector O. En lugar de describir un solo conjunto de valores, una desigualdad compuesta describe una relación entre dos condiciones que la variable debe cumplir. Por ejemplo, \( -3 < x + 2 < 5 \) es en realidad dos desigualdades escritas juntas, y \( x < -1 \) o \( x > 4 \) combina dos condiciones separadas con la palabra "o".

Antes de trabajar con desigualdades compuestas conviene tener claro cómo se resuelven las desigualdades lineales en un paso y las desigualdades lineales en pasos múltiples, porque cada parte de una desigualdad compuesta se resuelve exactamente con esas mismas reglas.

Cuando dos desigualdades están unidas por Y, la solución es el conjunto de valores que satisface ambas condiciones al mismo tiempo. Esto se llama una intersección. Muchas veces este tipo de desigualdad se escribe como una sola cadena de tres partes, por ejemplo \( -3 < x + 2 < 5 \).

Para resolverla se aplica la misma operación a las tres partes a la vez, igual que se haría en una desigualdad de un solo paso:

\( -3 < x + 2 < 5 \)

Restando 2 en las tres partes se obtiene:

\( -5 < x < 3 \)

La solución incluye todos los números mayores que \( -5 \) y menores que \( 3 \) al mismo tiempo.

Cuando dos desigualdades están unidas por O, la solución es el conjunto de valores que cumple al menos una de las dos condiciones. Esto se llama una unión, y a diferencia de las desigualdades con Y, cada parte se resuelve por separado porque no forman una sola cadena continua.

Por ejemplo, para resolver \( x + 3 < 2 \) o \( x - 1 > 3 \):

La primera parte da \( x < -1 \) y la segunda da \( x > 4 \). La solución final es \( x < -1 \) o \( x > 4 \), es decir, dos rayos separados en la recta numérica.

La notación de intervalo es una manera compacta de escribir la solución de una desigualdad compuesta. Se usan paréntesis cuando el extremo no está incluido (correspondiente a los símbolos \( < \) o \( > \)) y corchetes cuando sí está incluido (correspondiente a \( \le \) o \( \ge \)).

Siguiendo los ejemplos anteriores:

La solución de la desigualdad con Y se escribe como \( (-5, 3) \).

La solución de la desigualdad con O, al tratarse de una unión, se escribe como \( (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \), donde el símbolo \( \cup \) representa la palabra "o".

Un error frecuente es olvidar aplicar la misma operación a las tres partes de una desigualdad con Y, en lugar de solo a una parte. Otro error común es tratar una desigualdad con O como si fuera una sola cadena continua, cuando en realidad describe dos condiciones independientes que se resuelven por separado. También conviene recordar invertir el símbolo de la desigualdad si se multiplica o divide por un número negativo, tal como ocurre en cualquier desigualdad lineal.

Si la desigualdad compuesta involucra una expresión cuadrática en lugar de una lineal, el procedimiento cambia un poco: conviene revisar cómo resolver desigualdades cuadráticas antes de combinar dos condiciones cuadráticas con Y o con O.

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