Estiramientos Verticales de Funciones

Un estiramiento vertical es una transformacion que hace que una grafica se "alargue" en direccion vertical, alejando sus puntos del eje \(x\). Esto ocurre cuando multiplicamos toda una funcion \(f(x)\) por una constante \(a\) mayor que 1. El resultado es una nueva funcion \(g(x) = a \cdot f(x)\) cuya forma general se mantiene, pero cuya altura en cada punto se multiplica por ese factor \(a\).

Esta idea forma parte del estudio mas amplio de las transformaciones de funciones, junto con traslaciones y reflexiones. Antes de avanzar, conviene tener claro como se lee y se escribe una funcion usando notacion de funciones, ya que toda la regla de estiramiento se expresa a partir de esa notacion.

La regla que describe un estiramiento vertical es:

\( g(x) = a \cdot f(x) \), con \( a > 1 \)

Cada punto \( (x, y) \) de la grafica original se transforma en el punto \( (x, a \cdot y) \). Es decir, la coordenada \(x\) no cambia, pero la coordenada \(y\) se multiplica por \(a\). Cuanto mas grande sea \(a\), mas "delgada" y alta se vera la grafica cerca de su eje de simetria o de su punto minimo o maximo.

Por ejemplo, si partimos de \( f(x) = x^2 \) y aplicamos \( a = 2 \), obtenemos:

\( g(x) = 2x^2 \)

El punto \( (1, 1) \) de \( f(x) = x^2 \) se convierte en \( (1, 2) \) en \( g(x) = 2x^2 \), porque el valor de \(y\) se duplico.

Es importante no confundir el estiramiento vertical con la compresion vertical. Ambas transformaciones usan la misma regla \( g(x) = a \cdot f(x) \), pero el efecto depende del tamano de \(a\):

• Si \( a > 1 \), la grafica se estira verticalmente, es decir, se aleja del eje \(x\).
• Si \( 0 < a < 1 \), la grafica se comprime verticalmente, o sea, se acerca al eje \(x\).

Por ejemplo, con \( a = 0.5 \) y la misma funcion base \( f(x) = x^2 \), obtenemos \( h(x) = 0.5x^2 \), que es una compresion vertical, no un estiramiento.

Este contraste ayuda a reconocer que el valor de \(a\) determina el tipo de transformacion, y no solo su tamano. Comprender bien este comportamiento tambien facilita el estudio de la dominio y rango de una funcion, ya que un estiramiento o una compresion vertical suele cambiar el rango de la funcion, aunque el dominio permanezca igual.

Al aplicar un estiramiento vertical a una funcion, conviene recordar lo siguiente:

• Los interceptos en \(x\) no cambian, porque si \( f(x) = 0 \) entonces \( a \cdot f(x) = 0 \) tambien.
• El intercepto en \(y\) si puede cambiar, ya que se multiplica por \(a\).
• El dominio de la funcion no cambia.
• El rango de la funcion generalmente cambia, porque los valores de \(y\) se multiplican por \(a\).

Este comportamiento de los interceptos se relaciona directamente con lo que se estudia en el tema de interceptos x y y, donde se explica en detalle como distinguir el efecto de una transformacion sobre cada tipo de intercepto.

Dada la funcion \( f(x) = |x| \), encuentra la ecuacion de la funcion transformada que representa un estiramiento vertical con factor 3, y calcula el nuevo valor de \(y\) cuando \( x = 4 \).

Primero escribimos la regla general aplicando el factor 3:

\( g(x) = 3 \cdot |x| \)

Luego evaluamos en \( x = 4 \):

\( g(4) = 3 \cdot |4| = 3 \cdot 4 = 12 \)

Mientras que en la funcion original, \( f(4) = |4| = 4 \). El valor de \(y\) paso de 4 a 12, es decir, se multiplico exactamente por el factor de estiramiento, tal como predice la regla.

• Confundir un estiramiento vertical con un desplazamiento, cuando en realidad un desplazamiento suma o resta un numero fuera de la funcion, en lugar de multiplicar.
• Olvidar que el factor \(a\) debe ser mayor que 1 para que sea un estiramiento, y no una compresion.
• Aplicar el factor solo a una parte de la expresion en vez de multiplicar toda la funcion \(f(x)\).

Un estiramiento vertical transforma una funcion \(f(x)\) en \( a \cdot f(x) \) cuando \( a > 1 \), alargando la grafica en direccion vertical sin alterar sus interceptos en \(x\) ni su dominio. Practicar con distintas familias de funciones ayuda a reconocer este patron rapidamente y a distinguirlo de la compresion vertical y de otras transformaciones que se estudian en algebra.

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