Traslaciones Verticales de Funciones

Una traslación vertical es una transformación que desplaza toda la gráfica de una función hacia arriba o hacia abajo, sin cambiar su forma ni su orientación. Si conoces la gráfica de una función \( f(x) \), puedes obtener la gráfica de una función relacionada simplemente sumando o restando una constante al resultado de \( f(x) \).

Esta idea es una de las transformaciones básicas dentro del estudio más amplio de las transformaciones de funciones, junto con las traslaciones horizontales, los estiramientos y las reflexiones. Antes de continuar, es útil tener claro cómo se escribe y se interpreta la notación de funciones, ya que las traslaciones se describen precisamente usando esa notación.

Si \( f(x) \) es una función y \( k \) es una constante positiva, entonces:

\( g(x) = f(x) + k \) desplaza la gráfica de \( f(x) \) hacia arriba \( k \) unidades.

\( g(x) = f(x) - k \) desplaza la gráfica de \( f(x) \) hacia abajo \( k \) unidades.

En ambos casos, cada punto \( (x, y) \) de la gráfica original se convierte en \( (x, y + k) \) o en \( (x, y - k) \). Es decir, la coordenada \( x \) nunca cambia; solo cambia la coordenada \( y \). Por eso, el dominio de la función no se ve afectado por una traslación vertical, aunque el rango sí puede cambiar.

Considera la función base \( f(x) = x^2 \), cuya gráfica es una parábola con vértice en el origen.

Ahora observa la función \( g(x) = x^2 + 3 \). Como se suma una constante positiva, toda la parábola se desplaza 3 unidades hacia arriba. El vértice pasa de \( (0, 0) \) a \( (0, 3) \), pero la forma de la parábola no cambia.

Nota que este desplazamiento también mueve el intercepto en \( y \) de la función. Si quieres repasar cómo identificar interceptos antes y después de una transformación, revisa la lección sobre la relación entre los interceptos x y y.

Ahora trabajemos con la función valor absoluto \( f(x) = |x| \), cuyo vértice está en el origen. Si definimos \( h(x) = |x| - 2 \), estamos restando 2, por lo que la gráfica se desplaza 2 unidades hacia abajo. El nuevo vértice se ubica en \( (0, -2) \).

Fíjate en la dirección del desplazamiento: el signo de la constante indica si la gráfica sube (signo positivo) o baja (signo negativo). La magnitud de la constante indica cuántas unidades se mueve.

Para reconocer una traslación vertical al comparar dos funciones, sigue estos pasos:

1. Verifica si la constante se suma o resta fuera de la función, es decir, después de aplicar \( f \) a \( x \), como en \( f(x) + k \), y no dentro del argumento, como en \( f(x + k) \) (esto último sería una traslación horizontal).

2. Identifica el valor y el signo de la constante \( k \).

3. Aplica el desplazamiento a puntos clave de la función original, como el vértice, los interceptos o cualquier punto conocido.

4. Dibuja la nueva gráfica manteniendo exactamente la misma forma que la función original.

Como una traslación vertical solo mueve los valores de \( y \), el dominio de la función se mantiene igual. Sin embargo, el rango se desplaza en la misma dirección y magnitud que la gráfica. Por ejemplo, si \( f(x) = x^2 \) tiene rango \( y \ge 0 \), entonces \( g(x) = x^2 + 3 \) tiene rango \( y \ge 3 \). Para profundizar en este concepto, consulta la lección sobre dominio y rango de una función.

Una traslación vertical se reconoce por una constante sumada o restada fuera de la función. El signo determina la dirección del desplazamiento y el valor absoluto de la constante determina cuántas unidades se mueve la gráfica. Este tipo de transformación no cambia la forma de la curva, solo su posición vertical, lo que la convierte en una de las herramientas más simples y útiles para analizar y graficar funciones relacionadas.

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