Propiedades de la Esperanza Matemática

La esperanza matematica, tambien llamada valor esperado, es el promedio ponderado de los valores que puede tomar una variable aleatoria \(X\), usando sus probabilidades como pesos. Si ya conoces como se calcula \(E(X)\) a partir de una distribucion de probabilidad, puedes repasarlo en la lección sobre distribución de probabilidad, histograma, media y varianza. En esta página nos enfocamos en las reglas algebraicas que simplifican el calculo de \(E(X)\) cuando la variable aleatoria se transforma o se combina con otras.

Si \(c\) es un numero constante (no una variable aleatoria), entonces:

\( E(c) = c \)

Esto tiene sentido porque una constante siempre toma el mismo valor, sin importar el resultado del experimento, asi que su promedio ponderado es ella misma.

Esta es la propiedad mas usada en la practica. Para cualquier variable aleatoria \(X\) y constantes \(a\) y \(b\):

\( E(aX + b) = aE(X) + b \)

Esto significa que multiplicar o sumar una constante a una variable aleatoria simplemente escala o desplaza su esperanza de la misma manera.

Ejemplo: supon que \(X\) es el resultado de lanzar un dado justo, con \(E(X) = 3.5\). Si defines \(Y = 2X + 3\), no necesitas calcular la distribucion completa de \(Y\); basta aplicar la propiedad:

\( E(Y) = 2E(X) + 3 = 2(3.5) + 3 = 10 \)

Si \(X\) y \(Y\) son dos variables aleatorias definidas sobre el mismo espacio de probabilidad, la esperanza de su suma es la suma de sus esperanzas, sin importar si son independientes:

\( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \)

Esta propiedad se extiende a cualquier numero finito de variables aleatorias:

\( E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) \)

Combinando linealidad y aditividad se obtiene la regla general para cualquier combinacion lineal:

\( E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c \)

En general, \(E(XY) \ne E(X)E(Y)\). Sin embargo, cuando \(X\) y \(Y\) son variables aleatorias independientes, la propiedad se cumple:

\( E(XY) = E(X)E(Y) \)

Esta propiedad es clave al derivar formulas de varianza y covarianza, y aparece con frecuencia al estudiar sumas de ensayos independientes como en la distribución binomial.

Si dos variables aleatorias cumplen \(X \le Y\) para todo resultado posible, entonces sus esperanzas conservan esa relacion:

\( X \le Y \Rightarrow E(X) \le E(Y) \)

Esta propiedad permite comparar el valor esperado de dos variables sin calcular ambas esperanzas de forma explicita.

Estas reglas evitan tener que recalcular sumatorias o integrales completas cada vez que combinas o transformas variables aleatorias. Se usan constantemente al derivar la media de distribuciones conocidas, como en la distribución geometrica, donde la linealidad y la aditividad simplifican enormemente el trabajo algebraico necesario para llegar a la formula final de \(E(X)\).

Related lessons

• Es Statistics Help