Volúmenes de Sólidos de Revolución por el Método del Disco

El método del disco es una técnica del cálculo integral que permite calcular el volumen de un sólido de revolución. Un sólido de revolución se genera cuando una región plana, delimitada por una función \( y = f(x) \), gira por completo alrededor de un eje (normalmente el eje \( x \) o el eje \( y \)). Al girar, cada segmento vertical de la región traza un disco circular, y la suma de todos esos discos infinitesimalmente delgados forma el sólido completo.

La idea clave es que cada disco es en realidad un cilindro muy delgado: su radio depende del valor de la función en ese punto, y su espesor es \( dx \) (o \( dy \) si se gira alrededor del eje \( y \)).

El área de un disco circular de radio \( r \) es \( \pi r^2 \). Si el sólido se genera girando la región bajo \( y = f(x) \), entre \( x = a \) y \( x = b \), alrededor del eje \( x \), el radio de cada disco es \( r = f(x) \). Sumando (integrando) todos los discos desde \( a \) hasta \( b \), se obtiene:

\( V = \pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2 \, dx \)

Si en cambio la región gira alrededor del eje \( y \), y la curva está expresada como \( x = g(y) \) entre \( y = c \) y \( y = d \), la fórmula equivalente es:

\( V = \pi \displaystyle\int_c^d [g(y)]^2 \, dy \)

Este método solo se aplica cuando el sólido no tiene un hueco interior. Si la región gira alrededor de un eje pero deja un espacio vacío en el centro, cada sección transversal es una arandela (un disco con un agujero) en lugar de un disco completo, y se resta el radio interior al exterior antes de elevar al cuadrado.

1. Identifica la función \( f(x) \), el eje de rotación y el intervalo \( [a, b] \) de la región que gira.
2. Escribe el radio del disco típico como \( r = f(x) \) (o \( r = g(y) \) si se gira alrededor del eje y).
3. Sustituye el radio en la fórmula \( V = \pi \int [radio]^2 \, dx \).
4. Evalúa la integral definida usando los límites de la región.
5. Expresa el resultado como un volumen, generalmente en unidades cúbicas.

Calcula el volumen del sólido que se genera al girar la región bajo la curva \( y = \sqrt{x} \), entre \( x = 0 \) y \( x = 4 \), alrededor del eje \( x \).

El radio de cada disco es \( r = f(x) = \sqrt{x} \), así que \( r^2 = x \). Aplicando la fórmula:

\( V = \pi \displaystyle\int_0^4 x \, dx = \pi \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^4 = \pi \left( \dfrac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi \)

El volumen del sólido de revolución es \( 8\pi \) unidades cúbicas.

Antes de plantear la integral, conviene tener claros los límites de la región, algo que se practica al trabajar con áreas entre curvas, ya que el intervalo \( [a, b] \) del método del disco suele ser el mismo que delimita esa región. El método del disco es en realidad un caso particular de una idea más general: sumar áreas de secciones transversales a lo largo de un eje, como se estudia en volumen de sólidos con secciones transversales conocidas, donde la sección no siempre es un círculo.

Cuando la variable de integración natural no coincide con el eje de rotación (por ejemplo, girar alrededor del eje y una región descrita en función de \( x \)), suele ser más práctico usar cilindros en lugar de discos, técnica que se explica en volumen de sólidos de revolución, método de cascarones. Elegir entre discos y cascarones depende de cuál integral resulta más simple de plantear y resolver.

Related lessons

• Es Calculus Help