Tangentes de curvas polares

Una curva polar se describe mediante una funcion \( r = f(\theta) \), donde \( r \) es la distancia al origen (el polo) y \( \theta \) es el angulo medido desde el eje polar. Igual que en el plano cartesiano, en cada punto de la curva existe una recta tangente, pero como la curva no esta escrita como \( y = f(x) \), no podemos derivar directamente. La clave es tratar \( \theta \) como parametro, tal como se hace al definir curvas con ecuaciones parametricas.

Si ya conoces las coordenadas polares, recuerda que un punto \( (r, \theta) \) se relaciona con el plano cartesiano mediante:

\( x = r\cos\theta \)

\( y = r\sin\theta \)

Como \( r \) depende de \( \theta \) a traves de \( r = f(\theta) \), estas dos ecuaciones convierten la curva polar en una curva parametrica con parametro \( \theta \). Esto permite usar directamente la regla de la cadena para curvas parametricas:

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \), siempre que \( dx/d\theta \ne 0 \)

Derivando \( x = r\cos\theta \) y \( y = r\sin\theta \) respecto a \( \theta \) con la regla del producto, obtenemos:

\( \dfrac{dx}{d\theta} = \dfrac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta \)

\( \dfrac{dy}{d\theta} = \dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta \)

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva polar es:

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{r'(\theta)\sin\theta + r\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r\sin\theta} \)

Esta formula se evalua en un valor concreto de \( \theta \) para obtener la pendiente numerica en ese punto de la curva.

Consideremos la cardioide \( r = 1 + \cos\theta \). Queremos la recta tangente en \( \theta = \dfrac{\pi}{2} \).

Primero, \( r'(\theta) = -\sin\theta \). Sustituyendo en las derivadas parciales:

\( \dfrac{dx}{d\theta} = -\sin\theta\cos\theta - (1+\cos\theta)\sin\theta = -\sin\theta(2\cos\theta + 1) \)

\( \dfrac{dy}{d\theta} = -\sin^2\theta + (1+\cos\theta)\cos\theta = \cos 2\theta + \cos\theta \)

Evaluando en \( \theta = \pi/2 \): \( \dfrac{dx}{d\theta} = -1(0+1) = -1 \) y \( \dfrac{dy}{d\theta} = -1 + 0 = -1 \).

Entonces \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1}{-1} = 1 \). El punto correspondiente es \( x = r\cos\theta = 0 \) y \( y = r\sin\theta = 1 \), es decir \( (0, 1) \). La recta tangente es:

\( y - 1 = 1(x - 0) \), o bien \( y = x + 1 \)

Muchas curvas polares tienen puntos donde la tangente es horizontal o vertical, informacion util para trazar la grafica junto con el area de curvas polares.

• La tangente es horizontal cuando \( \dfrac{dy}{d\theta} = 0 \) y \( \dfrac{dx}{d\theta} \ne 0 \) en ese mismo valor de \( \theta \).
• La tangente es vertical cuando \( \dfrac{dx}{d\theta} = 0 \) y \( \dfrac{dy}{d\theta} \ne 0 \) en ese mismo valor de \( \theta \).
• Si ambas derivadas se anulan a la vez, se necesita analizar el limite del cociente para determinar la pendiente.

Si para algun \( \theta_0 \) ocurre que \( r(\theta_0) = 0 \), la curva pasa por el polo. En ese caso, la recta tangente en el origen es simplemente la recta \( \theta = \theta_0 \), es decir, la recta que pasa por el origen con ese angulo. Por ejemplo, en la cardioide \( r = 1 + \cos\theta \), tenemos \( r = 0 \) cuando \( \theta = \pi \), asi que la tangente en el polo es la recta \( \theta = \pi \), que coincide con el semieje horizontal negativo.

Para hallar la tangente de una curva polar en un punto dado por \( \theta \):

• Escribe \( x = r\cos\theta \) y \( y = r\sin\theta \) usando \( r = f(\theta) \).
• Deriva ambas expresiones respecto a \( \theta \) con la regla del producto.
• Divide \( dy/d\theta \) entre \( dx/d\theta \) para obtener la pendiente.
• Evalua en el valor de \( \theta \) pedido y usa el punto \( (x, y) \) correspondiente para escribir la ecuacion de la recta.
• Revisa si \( r = 0 \) en ese \( \theta \); si es asi, la tangente es simplemente la recta \( \theta = \theta_0 \).

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