Tangente y concavidad de ecuaciones paramétricas

Encuentra $\large \;\frac{dy}{dx}\;$ $\frac{d y}{d x}$ y $\large \;\frac{d^2y}{dx^2}$ $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$
1. $x=t-t^2$
  $y=3+t$
2. $x=e^t$
  $y=e^{-t}$
Tangente y concavidad
Encuentra la tangente del cicloide $\; x=r(\theta - sen \theta)$ $x = r (θ - se n θ)$ , $y=r(1-\cos \theta) \,$ $y = r (1 - cos θ)$ cuando $\, \theta = \frac{\pi}{4} \,$ $θ = \frac{π}{4}$ y $\,r$ $r$ > $0$ $0$ . Determina la concavidad para todos los valores de $\theta$ $θ$ . (No elimines el parámetro).

Podemos encontrar la tangente (o derivada) sin tener que eliminar el parámetro

t

usando la ecuación:

\large \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \;

donde

\large \;\frac{dx}{dt}

≠

0

La tangente horizontal ocurre cuando

\large \;\frac{dy}{dt} =0\;

dado que

\large \;\frac{dx}{dt}

≠

0

.

La tangente vertical ocurre cuando

\large \;\frac{dx}{dt} =0\;

dado que

\large \;\frac{dy}{dt}

≠

0

.

Para encontrar la concavidad (o segunda derivada), usamos la siguiente ecuación:

\large \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}