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Criterio de la raíz de Cauchy

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Criterio de la Raiz

Explicacion del criterio de la raiz para series infinitas: que es, su formula, como interpretar el limite obtenido y un ejemplo resuelto paso a paso para aplicarlo correctamente en distintos tipos de series.

Que es el criterio de la raiz

El criterio de la raiz (tambien llamado prueba de la raiz enesima) sirve para determinar si una serie infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) converge o diverge. Es especialmente util cuando el termino general \( a_n \) contiene una potencia con exponente \( n \), un caso donde otros criterios resultan mas complicados de aplicar. Antes de continuar conviene repasar la Introduccion a series infinitas, ya que este criterio se apoya en las mismas ideas basicas de convergencia y divergencia.

Formula del criterio de la raiz

Dada una serie \( \sum a_n \), se calcula el limite:

\( L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \)

Este mismo limite puede escribirse de forma equivalente como \( L = \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} \). El valor de \( L \) es lo que permite decidir el comportamiento de la serie.

Interpretacion del resultado

Valor de \( L \)Conclusion
\( L < 1 \)La serie converge absolutamente
\( L > 1 \) (o \( L = \infty \))La serie diverge
\( L = 1 \)El criterio no es concluyente, se necesita otro metodo

Para repasar como se clasifican estos resultados en general, puedes revisar Convergencia y divergencia de series infinitas.

Pasos para aplicar el criterio de la raiz

  1. Identifica el termino general \( a_n \) de la serie.
  2. Forma la expresion \( \sqrt[n]{|a_n|} \) y simplifica lo mas posible antes de tomar el limite.
  3. Calcula \( L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \).
  4. Compara \( L \) con 1 y aplica la tabla de conclusiones anterior.

Ejemplo resuelto

Analiza la convergencia de la serie \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{n}{2n+1} \right)^n \).

El termino general ya esta elevado a la potencia \( n \), asi que es un candidato perfecto para el criterio de la raiz. Al tomar la raiz enesima, el exponente se cancela:

\( \sqrt[n]{a_n} = \dfrac{n}{2n+1} \)

La siguiente grafica muestra como se comporta esta expresion a medida que \( n \) crece.

Grafica de f de x igual a x dividido entre 2x mas 1, mostrando el acercamiento a un medio Plot of y = x/(2*x+1) for x in [1, 20] 5 10 15 20 0.35 0.4 0.45 0.5 n raiz enesima de a_n se acerca a 1/2
Comportamiento de \( \sqrt[n]{a_n} = \dfrac{n}{2n+1} \) al aumentar \( n \)

Tomando el limite:

\( L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{2n+1} = \dfrac{1}{2} \)

Como \( L = \dfrac{1}{2} < 1 \), la serie converge absolutamente.

Cuando conviene usar el criterio de la raiz

Este criterio brilla cuando \( a_n \) es una potencia enesima completa, como en el ejemplo anterior, o cuando el termino combina factoriales y potencias donde la raiz simplifica mejor que otros metodos. Si el termino general es en realidad una razon constante elevada a \( n \), la serie se comporta como una serie geometrica, y puedes contrastar tu resultado revisando Convergencia y divergencia de series geometricas. Cuando el criterio de la raiz resulta en \( L = 1 \), recuerda que no aporta informacion y debes recurrir a otro criterio de convergencia para completar el analisis.

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