¿Qué es el criterio de la raíz de Cauchy?

Problema útil sobre el criterio de la raíz de Cauchy
Muestra que $\lim$ $lim$ _{n → $\infty$} $n^{\frac{1}{n}}=1$ $n^{\frac{1}{n}} = 1$ .
Esto es útil cuando se usa el criterio de la raíz de Cauchy en series infinitas.
Convergencia y divergencia con el criterio de la raíz de Cauchy
Utiliza el criterio de la raíz de Cauchy para determinar si la serie converge o diverge. Si esta prueba no te da una conclusión definitiva, entonces usa otra.
1. $\large \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^n}{2n}$
2. $\large \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n)^{2n+1}}{\pi^{1-2n}}$

El criterio de raíz de Cauchy nos dice que si

\sum a_n

es una serie positiva, entonces:

R=

\lim

_{n → $\infty$}

\mid \large a_n\mid^{\frac{1}{n}}

Donde:

Si $R$ < $1$ , entonces la serie es convergente (convergencia absoluta)
Si $R$ > $1$ , entonces la serie es divergente
Si $R=1$ , entonces la serie puede ser divergente o convergente (se necesita de otra prueba para determinarlo).

Nota: si el criterio de la raíz de Cauchy resulta en

R=1

, entonces también el criterio de d’Alembert.

Criterio de la raíz de Cauchy