Suma de Riemann

Una suma de Riemann es un método para aproximar el área bajo una curva dividiéndola en varios rectángulos. En lugar de calcular el área exacta de una región con bordes curvos (algo que aún no sabemos hacer directamente), dividimos el intervalo en pedazos pequeños, dibujamos un rectángulo sobre cada pedazo y sumamos las áreas de todos esos rectángulos. Cuantos más rectángulos usemos, más se acerca la suma al área real.

Esta idea es el puente entre la geometría básica (área de un rectángulo) y el concepto de integral definida, que es el límite exacto de este proceso cuando el número de rectángulos crece sin límite.

Sea \( f(x) \) una función continua en el intervalo \([a, b]\). Dividimos ese intervalo en \( n \) subintervalos de igual ancho:

\( \Delta x = \dfrac{b-a}{n} \)

Los puntos que separan los subintervalos son \( x_0 = a, x_1, x_2, \ldots, x_n = b \). En cada subintervalo elegimos un punto muestral \( x_i^* \) y construimos un rectángulo de altura \( f(x_i^*) \) y ancho \( \Delta x \). La suma de Riemann es entonces:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x \)

El valor de esta suma depende de cómo elijamos el punto \( x_i^* \) dentro de cada subintervalo.

Existen tres elecciones típicas para el punto muestral \( x_i^* \):

• Suma por la izquierda: se usa el extremo izquierdo de cada subintervalo, \( x_i^* = x_{i-1} \). Si la función es creciente, esta suma subestima el área real.
• Suma por la derecha: se usa el extremo derecho, \( x_i^* = x_i \). Si la función es creciente, esta suma sobreestima el área real.
• Suma del punto medio: se usa el punto medio de cada subintervalo, lo que suele dar una aproximación más precisa que las dos anteriores.

Aproximemos el área bajo \( f(x) = x^2 \) en el intervalo \([0, 2]\) usando \( n = 4 \) rectángulos y puntos muestrales en el extremo derecho.

Primero calculamos el ancho de cada subintervalo:

\( \Delta x = \dfrac{2 - 0}{4} = 0.5 \)

Los extremos derechos de los subintervalos son \( 0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2 \). Evaluamos la función en cada uno:

\( f(0.5) = 0.25,\quad f(1) = 1,\quad f(1.5) = 2.25,\quad f(2) = 4 \)

La suma de Riemann por la derecha es:

\( 0.5\,(0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 0.5 \times 7.5 = 3.75 \)

Este valor de \( 3.75 \) es una aproximación del área real bajo la curva entre \( x = 0 \) y \( x = 2 \). Si aumentamos \( n \), la aproximación mejora y se acerca al valor exacto que se obtiene con la integral definida.

Cuando hacemos que el número de rectángulos crezca sin límite, es decir \( n \to \infty \) y por lo tanto \( \Delta x \to 0 \), la suma de Riemann converge a un valor exacto. Ese límite es precisamente la definición de la integral definida:

\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x \)

Por eso la suma de Riemann no solo sirve como técnica de aproximación numérica, sino que es la base conceptual detrás del teorema fundamental del cálculo, que conecta esta idea de área con el proceso inverso de encontrar antiderivadas para evaluar integrales de forma exacta.

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