Radio e intervalo de convergencia con series de potencias

Una serie de potencias es una serie infinita de la forma \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n \), donde \(c\) es el centro y \(a_n\) son los coeficientes. A diferencia de una serie numerica fija, una serie de potencias depende de la variable \(x\), asi que su comportamiento (si converge o diverge) cambia segun el valor de \(x\) que elijamos. Este tema se apoya directamente en lo aprendido sobre la introduccion a series infinitas y en los criterios de convergencia vistos previamente.

El objetivo aqui es responder una pregunta clave: para que valores de \(x\) esta serie converge? La respuesta siempre tiene la misma estructura geometrica: existe un numero \(R \ge 0\) (el radio de convergencia) tal que la serie converge para todo \(x\) dentro de una distancia \(R\) del centro \(c\), y diverge fuera de ese rango. El conjunto exacto de valores de \(x\) donde la serie converge se llama intervalo de convergencia.

El metodo mas comun para hallar \(R\) es la prueba de la razon (criterio del cociente). Se calcula:

\( L = \lim_{n\to\infty} \left| \dfrac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n (x-c)^n} \right| = |x - c| \cdot \lim_{n\to\infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \)

La serie converge cuando \( L < 1 \) y diverge cuando \( L > 1 \). Si llamamos \( \rho = \lim_{n\to\infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \), entonces la condicion \( L < 1 \) se traduce en \( |x-c| < \dfrac{1}{\rho} \), de donde:

\( R = \dfrac{1}{\rho} \)

Hay tres posibilidades para \(R\):

• \( R = 0 \): la serie solo converge en el punto \( x = c \).
• \( R \) es un numero positivo finito: la serie converge en \( (c-R,\ c+R) \) y diverge fuera de ese rango.
• \( R = \infty \): la serie converge para todo valor real de \(x\).

La prueba de la razon no dice nada sobre lo que ocurre exactamente en \( x = c - R \) y en \( x = c + R \), porque ahi \( L = 1 \), un caso donde el criterio no concluye nada. Por eso, despues de encontrar \(R\), es obligatorio sustituir cada extremo en la serie original (ya no en la version general) y analizarlo por separado, normalmente con un criterio como comparacion, series alternantes o el de la convergencia y divergencia de series infinitas.

Segun lo que ocurra en cada extremo, el intervalo final puede ser de cuatro tipos:

• \( (c-R,\ c+R) \): diverge en ambos extremos.
• \( [c-R,\ c+R] \): converge en ambos extremos.
• \( [c-R,\ c+R) \) o \( (c-R,\ c+R] \): converge solo en uno de los dos extremos.

Considera la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(x-2)^n}{n \cdot 3^n} \). Aqui \( c = 2 \) y \( a_n = \dfrac{1}{n \cdot 3^n} \). Aplicando la prueba de la razon:

\( \lim_{n\to\infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \dfrac{n \cdot 3^n}{(n+1) \cdot 3^{n+1}} = \dfrac{1}{3} \)

Entonces \( \rho = \dfrac{1}{3} \) y \( R = 3 \). El intervalo preliminar es \( (2-3,\ 2+3) = (-1,\ 5) \).

Ahora se revisan los extremos:

• En \( x = -1 \): la serie queda \( \sum \dfrac{(-3)^n}{n \cdot 3^n} = \sum \dfrac{(-1)^n}{n} \), que converge por el criterio de series alternantes.
• En \( x = 5 \): la serie queda \( \sum \dfrac{3^n}{n \cdot 3^n} = \sum \dfrac{1}{n} \), la serie armonica, que diverge.

Por lo tanto, el intervalo de convergencia final es \( [-1,\ 5) \): cerrado en el extremo izquierdo y abierto en el derecho.

El ejemplo mas sencillo de radio de convergencia proviene de la serie geometrica \( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \), cuya suma es \( \dfrac{1}{1-x} \) exactamente cuando \( |x| < 1 \). Este resultado, ya estudiado en convergencia y divergencia de series geometricas, muestra un radio \( R = 1 \) centrado en \( c = 0 \), con divergencia en ambos extremos \( x = -1 \) y \( x = 1 \). La grafica siguiente muestra la funcion suma \( \dfrac{1}{1-x} \), donde se aprecia como se dispara cerca de \( x = 1 \), el borde derecho del intervalo de convergencia.

Un error frecuente es olvidar revisar los extremos y asumir que el intervalo es siempre el intervalo abierto \( (c-R, c+R) \). Otro error es confundir el radio \(R\) con el intervalo completo: el radio es solo la distancia desde el centro, mientras que el intervalo debe expresarse indicando si cada extremo esta incluido o no. Practicar primero con series geometricas y series armonicas alternantes ayuda a reconocer rapidamente el comportamiento en los bordes.

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