Radio e intervalo de convergencia con series de potencias

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Examples
Lessons
  1. Radio de convergencia
    Determina el radio de convergencia para las siguientes series de potencias:
    1. βˆ‘n=0∞2nxnn! \large \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^nx^n}{n!}
    2. βˆ‘n=0∞3n∣x+3∣2n+1 \large \sum_{n=0}^{\infty}3^n|x+3|^{2n+1}
  2. Intervalo de convergencia
    Determina el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias:
    1. βˆ‘n=0∞n +2 3n(x + 5)n \large \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n\,+2\,}{3^n}(x\,+\,5)^n
Topic Notes
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En esta lecciΓ³n usaremos series de potencias de forma:

βˆ‘n=0∞cn(xβˆ’a)n \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n

Donde cnc_n son los coeficientes de cada tΓ©rmino en la serie y aa es un nΓΊmero.

Para encontrar el radio de convergencia de la serie de potencias se necesita usar el criterio de d’Alembert o el criterio de la raΓ­z de Cauchy.

Si An=cn(xβˆ’a)nA_n=c_n(x-a)^n. y usamos:
  • El criterio de d’Alembert:
    L=lim⁑L=\limn →∞\infty∣An+1An∣|\frac{A_{n+1}}{A_n}|
  • El criterio de raΓ­z de Cauchy:
    L=lim⁑L=\limn →∞\infty∣An∣1n|A_n|^{\frac{1}{n}}

Donde la convergencia ocurre en LL< 11 para ambas pruebas. MΓ‘s precisamente, se puede decir que la convergencia ocurre cuando ∣xβˆ’a∣|x-a| < RR, donde es el radio de convergencia.

El intervalo de convergencia es el valor de todas las xx's, para el cual la serie de potencias converge. Es importante tambiΓ©n checar si la serie de potencias converge cuando ∣xβˆ’a∣=R|x-a|=R.