Regla de la Potencia para Derivar

La regla de la potencia es la herramienta mas basica y mas usada para derivar funciones de la forma \( f(x) = x^n \), donde \( n \) es cualquier numero real (entero positivo, entero negativo o fraccion). En lugar de recurrir cada vez a la definicion de derivada con limites, esta regla permite obtener la derivada en un solo paso.

La formula es la siguiente:

\( \dfrac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \)

En palabras: se toma el exponente original, se coloca como coeficiente multiplicando a la variable, y luego se resta 1 al exponente. Este procedimiento se repite igual sin importar si el exponente es positivo, negativo o fraccionario.

La regla de la potencia se puede demostrar formalmente usando la definicion de derivada mediante limites, pero en la practica basta con memorizar el resultado y aplicarlo directamente. Para exponentes enteros pequenos, la formula se puede verificar expandiendo \( (x+h)^n \) con el binomio de Newton y tomando el limite cuando \( h \) tiende a 0; el resultado siempre coincide con \( nx^{n-1} \).

Deriva \( f(x) = x^5 \).

Se baja el exponente 5 como coeficiente y se resta 1 al exponente: \( f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4 \).

Deriva \( f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 6 \).

La regla de la potencia se combina con la regla de la suma, derivando cada termino por separado:

\( f'(x) = 12x^2 - 4x + 7 \)

Nota que la derivada de un termino constante como \( -6 \) siempre es 0, porque no hay variable que multiplicar.

Deriva \( f(x) = x^{-3} \).

Se aplica la misma formula sin importar el signo del exponente:

\( f'(x) = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} \)

Deriva \( f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \).

\( f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{(1/2)-1} = \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

Una vez obtenida la derivada con la regla de la potencia, se puede evaluar en un punto especifico para encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Por ejemplo, para \( f(x) = x^3 \), la derivada es \( f'(x) = 3x^2 \). En \( x = 2 \), la pendiente de la tangente es \( f'(2) = 3(2)^2 = 12 \).

La regla de la potencia solo se aplica a una sola potencia de x, no a productos ni cocientes de funciones. Si la funcion es un producto de dos expresiones, se necesita la regla del producto; si es un cociente, se usa la regla del cociente; y si la potencia envuelve a otra funcion, como en \( (3x^2+1)^4 \), se necesita la regla de la cadena junto con la regla de la potencia.

Un error frecuente es olvidar restar 1 al exponente y dejar el mismo exponente original. Otro error es aplicar la regla directamente a una suma dentro de un exponente sin reescribir la expresion, por ejemplo confundir \( (x+1)^2 \) con \( x^2 + 1 \). Tambien es comun olvidar que la derivada de una constante sola siempre es 0.

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