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Integración de funciones racionales por fracciones parciales

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Ejemplos
Lecciones
  1. Caso 1: El denominador es el producto de factores lineales sin repeticiones.

    Evalúa la integral:
    1. ∫10x2 + 20x − 10x(x + 2)(2x − 1) dx \large\int \frac{10x^2\,+\,20x\,-\,10}{x(x\,+\,2)(2x\,-\,1)} \, dx
  2. Caso 2: El denominador es el producto de factores lineales con repeticiones.

    Evalúa la integral:
    1. ∫x2 − 4(x − 1)3 dx \large \int \frac{x^2\,-\,4}{(x\,-\,1)^3}\,dx
  3. Caso 3: El denominador contiene factores cuadráticos irreducibles sin repeticiones.

    ***Recuerda: ∫dxx2 + a2=1atan−1(xa) + C \large \int \frac{dx}{x^2\,+\,a^2}=\frac{1}{a}tan^{-1}(\frac{x}{a})\,+\,C

    Evalúa la integral: ∫3x2 − x + 9x3 + 9x dx \large \int \frac{3x^2\,-\,x\,+\,9}{x^3\,+\,9x}\,dx
    Notas del Tema
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    Existen cuatro casos de descomposición en fracciones parciales:

    Caso 1: El denominador es el producto de factores lineales sin repeticiones.

    Ejemplos:

    7x(4x + 1)(3x − 5)=A4x + 1+B3x − 5 \large \frac{7x}{(4x\,+\,1)(3x\,-\,5)}=\frac{A}{4x\,+\,1}+\frac{B}{3x\,-\,5}

    5x(x2 − 9)=5x(x + 3)(x − 3)=Ax + Bx + 3+Cx − 3 \large \frac{5}{x(x^2\,-\,9)}=\frac{5}{x(x\,+\,3)(x\,-\,3)}=\frac{A}{x}\,+\,\frac{B}{x\,+\,3}+\frac{C}{x\,-\,3}

    Caso 2: El denominador es el producto de factores lineales con repeticiones.

    Ejemplos:

    x − 6(4x + 1)(3x − 5)2=A4x + 1+B3x − 5+C(3x − 5)2 \large \frac{x\,-\,6}{(4x\,+\,1)(3x\,-\,5)^2}=\frac{A}{4x\,+\,1}+\frac{B}{3x\,-\,5}+\frac{C}{(3x\,-\,5)^2}

    1x2(7x − 4)(x + 5)3=Ax + Bx2 + C7x − 4+Dx + 5+E(x + 5)2 + F(x + 5)3\large \frac{1}{x^2(7x\,-\,4)(x\,+\,5)^3}=\frac{A}{x}\,+\,\frac{B}{x^2}\,+\,\frac{C}{7x\,-\,4}+\frac{D}{x\,+\,5}+\frac{E}{(x\,+\,5)^2}\,+\,\frac{F}{(x\,+\,5)^3}

    Caso 3: El denominador contiene factores cuadráticos irreducibles sin repeticiones.

    Ejemplos:

    8x2(x − 3)(x2 + x + 1)=Ax − 3+Bx + Cx2 + x + 1 \large \frac{8x^2}{(x\,-\,3)(x^2\,+\,x\,+\,1)}=\frac{A}{x\,-\,3}+\frac{Bx\,+\,C}{x^2\,+\,x\,+\,1}

    5x(x2 + 9)=Ax + Bx + Cx2 + 9 \large \frac{5}{x(x^2\,+\,9)}=\frac{A}{x}\,+\,\frac{Bx\,+\,C}{x^2\,+\,9}

    Caso 4: El denominador contiene factores cuadráticos irreducibles con repeticiones.

    Ejemplos:

    5x2(x − 3)(x2 + x + 1)2=Ax − 3+Bx + Cx2 + x + 1 + Dx + E(x2 + x + 1 )2 \large \frac{5x^2}{(x\,-\,3)(x^2\,+\,x\,+\,1)^2}=\frac{A}{x\,-\,3}+\frac{Bx\,+\,C}{x^2\,+\,x\,+\,1}\,+\,\frac{Dx\,+\,E}{(x^2\,+\,x\,+\,1\,)^2}

    1 + x10(x3 − 8)(x2 + 25)3=1 + x10(x − 2)(x2 + 2x + 4)(x2 + 25)3=Ax − 2+Bx + Cx2 + 2x + 4+Dx + Ex2 + 25+Fx + G(x2 + 25)2 + Hx + I(x2 + 25)3 \large \frac{1\,+\,x^{10}}{(x^3\,-\,8)(x^2\,+\,25)^3}=\frac{1\,+\,x^{10}}{(x\,-\,2)(x^2\,+\,2x\,+\,4)(x^2\,+\,25)^3}=\frac{A}{x\,-\,2}+\frac{Bx\,+\,C}{x^2\,+\,2x\,+\,4}+\frac{Dx\,+\,E}{x^2\,+\,25}+\frac{Fx\,+\,G}{(x^2\,+\,25)^2}\,+\,\frac{Hx\,+\,I}{(x^2\,+\,25)^3}