Convergencia y Divergencia de Series Geométricas

Una serie geométrica es una suma infinita de la forma \( \sum_{n=0}^{\infty} a r^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \), donde \( a \) es el primer término y \( r \) es la razón común entre términos consecutivos. Antes de estudiar su convergencia conviene repasar la idea general de una serie infinita como suma de los términos de una sucesión, tema que se desarrolla en la introducción a series infinitas.

La clave para decidir si una serie geométrica converge o diverge está en el valor absoluto de la razón \( r \):

Si \( |r| < 1 \), la serie converge a un valor finito. Si \( |r| \ge 1 \), la serie diverge, ya sea porque los términos crecen sin límite o porque oscilan sin acercarse a cero.

Este comportamiento se explica observando la suma parcial de los primeros \( n \) términos, dada por \( S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} \) (para \( r \ne 1 \)). Cuando \( |r| < 1 \), el término \( r^n \) tiende a cero a medida que \( n \) crece, por lo que \( S_n \) se acerca a un límite fijo. Cuando \( |r| \ge 1 \), \( r^n \) no tiende a cero y la suma parcial no se estabiliza.

Cuando la serie converge (\( |r| < 1 \)), su suma infinita se calcula con la fórmula \( S = \dfrac{a}{1-r} \). Esta fórmula surge de tomar el límite de \( S_n \) cuando \( n \) tiende a infinito, ya que \( r^n \to 0 \).

Ejemplo 1: serie convergente

Consideremos la serie \( \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots \). Aquí \( a = 1 \) y \( r = \dfrac{1}{2} \), y como \( |r| < 1 \), la serie converge. Su suma es \( S = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \).

La siguiente gráfica muestra cómo las sumas parciales \( S_n \) se aproximan cada vez más al valor límite 2 a medida que se suman más términos.

Cuando \( |r| \ge 1 \), la serie no tiene una suma finita. Por ejemplo, en \( \sum_{n=0}^{\infty} 2^n = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots \), la razón es \( r = 2 \), y como \( |r| > 1 \), cada suma parcial es mayor que la anterior sin acercarse a ningún número fijo: la serie diverge hacia infinito.

También diverge cuando \( r = 1 \), pues la serie se convierte en \( a + a + a + \cdots \), que crece sin límite si \( a \ne 0 \). Y diverge cuando \( r = -1 \), porque las sumas parciales oscilan entre dos valores sin converger.

El criterio de \( |r| \) es específico de las series geométricas y no debe confundirse con el análisis general que se aplica a otras series, como se explica en convergencia y divergencia de series infinitas. Series como la armónica requieren pruebas distintas, tal como se detalla en divergencia de series armónicas, donde el criterio de razón no aplica de la misma forma.

Para cualquier serie geométrica \( \sum a r^n \):

Si \( |r| < 1 \): converge, y su suma es \( S = \dfrac{a}{1-r} \).

Si \( |r| \ge 1 \): diverge, y no existe suma finita.

Reconocer rápidamente el valor de \( r \) y compararlo con 1 en valor absoluto es el paso esencial para resolver cualquier problema de convergencia o divergencia de series geométricas.

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