Continuidad de una Función

En cálculo decimos que una función es continua en un punto cuando su gráfica no presenta saltos, huecos ni ramas que se disparan al infinito en ese lugar: es posible trazarla sin levantar el lápiz del papel. Para entender bien la continuidad conviene tener claro el concepto de límite, ya sea calculándolo con sustitución directa o interpretándolo en una gráfica, porque la continuidad se define directamente a partir del límite de una función en un punto.

Una función \( f(x) \) es continua en \( x = a \) si se cumplen, al mismo tiempo, estas tres condiciones:

1. Existencia: la función está definida en el punto, es decir \( f(a) \) existe.
2. Límite existente: el límite \( \lim_{x \to a} f(x) \) existe, lo cual significa que los límites laterales por la izquierda y por la derecha son iguales.
3. Coincidencia: el valor del límite es igual al valor de la función en ese punto, es decir \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).

Si cualquiera de estas tres condiciones falla, la función es discontinua en \( x = a \). Este es el criterio que usarás siempre para analizar la continuidad de una función en un punto dado.

Analicemos \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \) en \( x = 2 \).

Primero, \( f(2) = 2^2 - 2(2) + 1 = 1 \), así que la función está definida en ese punto. Luego, como es una función polinómica, el límite se calcula por sustitución directa: \( \lim_{x \to 2} f(x) = 1 \). Finalmente, comparamos ambos valores: \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 1 \). Las tres condiciones se cumplen, así que \( f(x) \) es continua en \( x = 2 \) (y de hecho lo es en todos los números reales, porque los polinomios siempre son continuos).

Ahora consideremos \( g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \) y queremos analizar su continuidad en \( x = 1 \).

La función no está definida en \( x = 1 \), porque el denominador se hace cero, así que la primera condición ya falla. Sin embargo, si factorizamos el numerador, \( g(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \) para todo \( x \ne 1 \), por lo que el límite sí existe: \( \lim_{x \to 1} g(x) = 2 \). Como el límite existe pero \( f(1) \) no está definida, la función tiene una discontinuidad removible en \( x = 1 \): la gráfica es una línea recta con un pequeño hueco en ese punto.

Además de la discontinuidad removible que acabamos de ver, existen otros dos tipos comunes:

• Discontinuidad de salto: los límites laterales existen pero son distintos entre sí, como ocurre en muchas funciones definidas por partes.
• Discontinuidad infinita: la función crece o decrece sin límite cerca del punto, algo típico en las asíntotas verticales.

La continuidad no es solo una propiedad estética de las gráficas: es la base de resultados fundamentales del cálculo. Por ejemplo, el teorema del valor intermedio solo se puede aplicar cuando la función es continua en el intervalo que se está analizando. Por eso, antes de usar muchas herramientas del cálculo, el primer paso siempre es confirmar que la función cumple las tres condiciones de continuidad.

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