Prueba de Comparación en el Límite

La prueba de comparación en el límite es un criterio de convergencia para series infinitas que compara el término general de una serie con el de otra serie cuyo comportamiento (convergente o divergente) ya conocemos. A diferencia de la prueba de comparación directa, no es necesario demostrar una desigualdad término a término, solo calcular un límite. Esto la hace especialmente útil cuando los términos de la serie son complicados pero se comportan de forma parecida a una serie más simple cuando \( n \) crece.

Esta prueba se apoya en las ideas ya vistas en la introducción a series infinitas, así que conviene tener claro qué significa que una serie converja o diverja antes de continuar.

Sean \( \sum a_n \) y \( \sum b_n \) dos series con términos positivos. Se calcula el límite:

\( L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} \)

Entonces:

Si \( 0 < L < \infty \) (es decir, \( L \) es un número finito y positivo), ambas series convergen o ambas divergen.

Si \( L = 0 \) y \( \sum b_n \) converge, entonces \( \sum a_n \) también converge.

Si \( L = \infty \) y \( \sum b_n \) diverge, entonces \( \sum a_n \) también diverge.

El caso más usado en la práctica es el primero, cuando el límite es un número finito distinto de cero, porque en ese caso el comportamiento de las dos series queda completamente ligado.

El paso clave es elegir una serie \( \sum b_n \) cuyo comportamiento ya se conozca y que se parezca a \( a_n \) cuando \( n \) tiende a infinito. Una estrategia práctica es quedarse solo con los términos dominantes del numerador y del denominador de \( a_n \). Por ejemplo, si \( a_n = \dfrac{1}{n^2+n} \), para valores grandes de \( n \) el término \( n \) se vuelve insignificante frente a \( n^2 \), así que conviene comparar con \( b_n = \dfrac{1}{n^2} \).

Las series de comparación más comunes son las series \( p \), de la forma \( \sum \dfrac{1}{n^p} \) (que convergen si \( p > 1 \) y divergen si \( p \le 1 \)), y las series geométricas, revisadas en la lección de convergencia y divergencia de series geométricas.

Determina si la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n} \) converge o diverge usando la prueba de comparación en el límite.

Paso 1. Se identifica el término dominante: para \( n \) grande, \( a_n = \dfrac{1}{n^2+n} \) se comporta como \( \dfrac{1}{n^2} \). Se elige \( b_n = \dfrac{1}{n^2} \).

Paso 2. Se calcula el límite del cociente:

\( L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2}{n^2+n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1 \)

Paso 3. Como \( L = 1 \) es finito y positivo, ambas series tienen el mismo comportamiento.

Paso 4. La serie \( \sum \dfrac{1}{n^2} \) es una serie \( p \) con \( p = 2 > 1 \), por lo que converge.

Conclusión. Como \( \sum b_n \) converge y \( L \) es finito y positivo, la serie original \( \sum \dfrac{1}{n^2+n} \) también converge.

La siguiente gráfica muestra cómo los términos de \( a_n \) se comportan de manera muy similar a los de \( b_n \) para valores grandes de \( n \), lo que justifica la comparación:

Un error frecuente es elegir una serie de comparación cuyo comportamiento no se conoce con certeza; siempre hay que usar una serie de referencia ya clasificada, como una serie \( p \) o una serie geométrica. Otro error es olvidar que la prueba solo se aplica a series de términos positivos. También conviene revisar si el problema se resuelve mejor con la convergencia y divergencia de series infinitas mediante otras pruebas, cuando el cociente \( a_n/b_n \) no tiene un límite finito claro.

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