Área entre Curvas

El área entre curvas es la región del plano que queda encerrada entre las gráficas de dos funciones, \(f(x)\) y \(g(x)\), dentro de un intervalo \([a,b]\). En lugar de calcular el área bajo una sola curva, aquí se busca el área que separa dos curvas entre sí. Esta idea extiende de forma natural el concepto de integral definida que ya conoces para el área bajo una curva.

Si en el intervalo \([a,b]\) se cumple que \(f(x) \ge g(x)\) (es decir, \(f\) está siempre por encima de \(g\)), el área de la región entre las dos curvas es

\( A = \displaystyle\int_{a}^{b} \big(f(x) - g(x)\big)\,dx \).

La resta \(f(x) - g(x)\) representa la altura de una franja vertical infinitesimal de la región, y la integral suma todas esas franjas desde \(x=a\) hasta \(x=b\).

Cuando el problema no da directamente los límites \(a\) y \(b\), primero debes encontrar dónde se cruzan las curvas. Para eso, resuelve la ecuación \(f(x) = g(x)\). Los valores de \(x\) que obtengas serán los límites de integración.

Antes de integrar, verifica cuál función es mayor en el intervalo. Puedes evaluar ambas funciones en un punto intermedio del intervalo, o analizar sus gráficas. Si el orden cambia dentro del intervalo (las curvas se cruzan más de una vez), debes dividir la integral en subintervalos y restar siempre la función menor de la mayor en cada tramo.

Algunas regiones son más fáciles de describir usando \(x\) como función de \(y\), es decir, \(x = f(y)\) y \(x = g(y)\). En ese caso, la fórmula se adapta así: \( A = \displaystyle\int_{c}^{d} \big(f(y) - g(y)\big)\,dy \), donde \(f(y)\) es la curva de la derecha y \(g(y)\) la de la izquierda dentro del intervalo \([c,d]\) en el eje \(y\). Esta variante es especialmente útil cuando las curvas se expresan más naturalmente en términos de \(y\), y también es la base del razonamiento que usarás al calcular volúmenes con el método de cascarones.

Calcula el área de la región entre \(f(x) = x + 2\) y \(g(x) = x^2\).

Primero buscamos los puntos de intersección: \(x + 2 = x^2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0\), por lo que \(x = -1\) y \(x = 2\).

Entre \(x=-1\) y \(x=2\), evaluando en un punto intermedio como \(x=0\) se ve que \(f(0)=2\) y \(g(0)=0\), así que \(f(x) \ge g(x)\) en todo el intervalo. El área es

\( A = \displaystyle\int_{-1}^{2} \big((x+2) - x^2\big)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2} + 2x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} \).

Evaluando en \(x=2\): \(\dfrac{4}{2} + 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{10}{3}\). Evaluando en \(x=-1\): \(\dfrac{1}{2} - 2 + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{7}{6}\).

Restando ambos resultados obtenemos \( A = \dfrac{10}{3} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) = \dfrac{9}{2} \) unidades cuadradas.

Dominar el área entre curvas es un paso clave antes de avanzar a temas más complejos de cálculo integral. Esta misma técnica de sumar franjas mediante integrales definidas es la base para calcular volúmenes de sólidos de revolución, como en el método del disco, y también se relaciona con el cálculo de la longitud de arco de una curva.

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