Longitud de Arco de Curvas Polares

Cuando trabajamos con coordenadas polares, una curva ya no se describe como \(y=f(x)\) sino mediante una ecuación \(r=f(\theta)\), donde \(r\) es la distancia al origen y \(\theta\) es el ángulo medido desde el eje polar. La longitud de arco de una curva polar es la distancia total recorrida a lo largo de esa curva entre dos valores del ángulo, \(\theta=\alpha\) y \(\theta=\beta\).

Si \(r=f(\theta)\) tiene derivada continua en \([\alpha,\beta]\), la longitud de arco de la curva polar desde \(\theta=\alpha\) hasta \(\theta=\beta\) es:

\( L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ r^2 + \left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 }\, d\theta \)

Esta expresión se obtiene al escribir la curva polar mediante las ecuaciones paramétricas \( x = r\cos\theta \) y \( y = r\sin\theta \) y aplicar la fórmula de longitud de arco de ecuaciones paramétricas. Al derivar \(x\) y \(y\) respecto a \(\theta\) con la regla del producto y simplificar usando \( \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \), los términos se combinan exactamente en \( r^2 + (dr/d\theta)^2 \).

Geométricamente, cada elemento de arco \(ds\) combina el cambio radial \(dr\) con el arco de circunferencia \(r\,d\theta\) que se recorre al girar un ángulo pequeño \(d\theta\). Estos dos desplazamientos son perpendiculares entre sí, así que por el teorema de Pitágoras:

\( ds = \sqrt{ (dr)^2 + (r\,d\theta)^2 } = \sqrt{ r^2 + \left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 }\, d\theta \)

1. Escribe la ecuación polar \(r=f(\theta)\) y determina el intervalo \([\alpha,\beta]\) que traza la curva, o la parte de ella, que te interesa.
2. Calcula la derivada \(dr/d\theta\).
3. Sustituye \(r\) y \(dr/d\theta\) dentro de la raíz y simplifica \( r^2+(dr/d\theta)^2 \) tanto como sea posible.
4. Integra respecto a \(\theta\) entre \(\alpha\) y \(\beta\).

Calculemos la longitud de arco de la espiral \( r = e^{\theta} \) para \( 0 \le \theta \le 1 \).

Primero obtenemos la derivada: \( dr/d\theta = e^{\theta} \). Después:

\( r^2 + \left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 = e^{2\theta} + e^{2\theta} = 2e^{2\theta} \)

Por lo tanto, la longitud de arco es:

\( L = \int_0^1 \sqrt{2e^{2\theta}}\, d\theta = \sqrt{2}\int_0^1 e^{\theta}\, d\theta = \sqrt{2}\,(e-1) \)

Numéricamente, \( L = \sqrt{2}(e-1) \approx 2.4295 \).

Para confirmar que la fórmula funciona, aplícala a un círculo de radio constante \( r = 5 \), recorrido completo con \( 0 \le \theta \le 2\pi \). Como \(r\) no depende de \(\theta\), \( dr/d\theta = 0\), así que:

\( L = \int_0^{2\pi} \sqrt{5^2 + 0^2}\, d\theta = 5 \int_0^{2\pi} d\theta = 10\pi \)

Este resultado coincide con la fórmula conocida de la circunferencia, \( 2\pi r \), lo que confirma que la fórmula de longitud de arco polar es consistente.

• Olvidar derivar \(r\) respecto a \(\theta\) y usar solo \(r\), en lugar de \( r^2+(dr/d\theta)^2 \), dentro de la raíz.
• Elegir límites de integración incorrectos: revisa cuántas veces se traza la curva en el intervalo elegido, sobre todo en curvas con pétalos o cardioides, como las que aparecen al estudiar las tangentes de curvas polares.
• Confundir esta fórmula con la de longitud de arco en coordenadas rectangulares, que usa \( \sqrt{1+(dy/dx)^2} \) en lugar de \( \sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2} \).

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