Longitud de arco y área de la superficie de ecuaciones paramétricas

Longitud de la curva
Encuentra la longitud de la curva de cada set de ecuaciones paramétricas
1. $x=e^t \, sen \, t$
  $y=e^t \cos t$
  donde $\, 0 \leq t \leq 2\pi$
2. $x=\cos (\theta)$
  $y= \, sen (\theta)$
  donde $\, 0 \leq \theta \leq \pi$

Si la curva está definida por las ecuaciones paramétricas:

\, x=f(t)

y=g(t) \,

y el valor de

\, t \,

está incrementando de

\, \alpha \,

\, \beta

, entonces podemos decir que la fórmula para la longitud de la curva paramétrica es:

\large L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} \, dt

Y la fórmula para encontrar el área de la superficie es muy similar.

Si la curva está rotando con respecto de eje

\, x \,

, donde

\, f', g' \,

son continuas y

\, g(t) \geq 0 \,

, entonces la fórmula para el área de la superficie de la curva es:

\large SA=\int_{\alpha}^{\beta} 2\pi y\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} \, dt