Aproximación de funciones con polinomios de Taylor y cotas de error

Un polinomio de Taylor es una forma de aproximar el valor de una función \(f(x)\) cerca de un punto \(a\) usando un polinomio construido a partir de las derivadas de \(f\) evaluadas en \(a\). La idea central es que, entre más derivadas se usen, mejor se ajusta el polinomio a la curva original, al menos en un intervalo alrededor de \(a\).

Esta herramienta conecta directamente con el estudio de series infinitas, ya que un polinomio de Taylor es simplemente una suma finita de los primeros términos de la serie de Taylor completa de la función.

El polinomio de Taylor de grado \(n\) para \(f(x)\) centrado en \(x = a\) se escribe como:

\( P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)

De forma compacta, usando notación de sumatoria:

\( P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \)

Cuando \(a = 0\), este polinomio se llama polinomio de Maclaurin, un caso particular muy usado con funciones como \(e^x\), \(\sin(x)\) o \(\cos(x)\).

Como \(P_n(x)\) es solo una aproximación, siempre existe una diferencia entre el valor real \(f(x)\) y el valor aproximado \(P_n(x)\). Esa diferencia se llama resto o término de error, y se denota \(R_n(x)\):

\( f(x) = P_n(x) + R_n(x) \)

El teorema de Taylor con resto de Lagrange afirma que existe algún número \(c\) entre \(a\) y \(x\) tal que:

\( R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \)

Como en general no se conoce el valor exacto de \(c\), se busca un valor \(M\) que sea una cota superior de \(|f^{(n+1)}(c)|\) en el intervalo de interés. Con eso se obtiene la cota de error:

\( |R_n(x)| \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} \)

Esta desigualdad no dice cuál es el error exacto, pero sí garantiza que el error nunca será mayor que ese valor, lo cual es suficiente para saber si la aproximación cumple con la precisión que se necesita.

Se quiere aproximar \(f(x) = e^x\) cerca de \(a = 0\) usando un polinomio de grado 3. Como todas las derivadas de \(e^x\) son \(e^x\), y \(e^0 = 1\), el polinomio queda:

\( P_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} \)

Al comparar ambas gráficas se observa que, cerca de \(x = 0\), el polinomio prácticamente coincide con la función real, pero conforme \(x\) se aleja del centro, la diferencia entre las dos curvas crece.

Ahora se calcula la cota de error para \(x = 1\). La cuarta derivada de \(e^x\) sigue siendo \(e^x\), y en el intervalo \([0,1]\) su valor máximo es \(e^1 \approx 2.72\), así que se puede usar \(M = 3\) como cota segura. Entonces:

\( |R_3(1)| \le \dfrac{3}{4!}(1)^4 = \dfrac{3}{24} = 0.125 \)

Esto significa que el valor aproximado \(P_3(1) = 1 + 1 + 0.5 + 0.1667 = 2.6667\) difiere del valor real \(e \approx 2.71828\) en menos de \(0.125\), lo cual coincide con el error real observado de aproximadamente \(0.0516\).

En muchas aplicaciones no es posible calcular una función de forma exacta, así que se recurre a un polinomio de Taylor. La cota de error permite decidir, antes de hacer los cálculos, cuántos términos del polinomio se necesitan para garantizar una precisión determinada, sin tener que conocer el valor real de la función.

Este razonamiento también prepara el terreno para entender cuándo la serie de Taylor completa (con infinitos términos) converge al valor real de la función. Ese análisis se apoya en las mismas ideas usadas para estudiar la convergencia y divergencia de series infinitas, y en la construcción de sucesiones de sumas parciales, tema que se introduce en introducción a sucesiones.

Un polinomio de Taylor aproxima una función usando sus derivadas en un punto \(a\), y la calidad de esa aproximación se mide con el resto \(R_n(x)\) y su cota de error. Aumentar el grado del polinomio o acercarse más al centro \(a\) generalmente reduce el error, y la cota de Lagrange permite cuantificar ese error sin necesidad de conocer el valor exacto de la función.

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